Question

已知抛物线y=a（x-1）²-2与x轴交于A、B两点，顶点为C，B点坐标为（3，0）
（1）求a的值；
（2）若以AB为直径的圆与y轴正半轴交于D，直线y=kx+b与该圆相切于D，求直线的解析式；
（3）设E为抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点F使得以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出F点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将B点坐标代入抛物线y=a（x-1）2-2即可求得a的值；
（2）先根据圆的方程求出D点坐标，再将D（0，）点坐标代入y=kx+b，即可求得直线的解析式；
（3）根据平行四边形的性质和E点坐标的位置，便可求出点F的坐标．
【解析】
（1）将B（3，0）点坐标代入抛物线y=a（x-1）2-2得：
0=a（3-1）2-2，
解得a=；

（2）抛物线的顶点C的坐标为（1，2），
抛物线y=（x-1）2-2与x轴交于A、B两点，
已知B点坐标为（3，0），则A坐标为（-1，0），
AB=4，以AB为直径的圆的半径为2，
⊙E的方程为（x-1）2+y2=4，
当x=0时，y=，
∴D点坐标为（0，），直线DE的斜率为k=-，
∵直线y=kx+b与该圆相切于D，
故直线l的斜率为，
将D（0，）点坐标代入y=x+b，
解得b=，
∴直线的解析式为y=x+；

（3）存在，设E点坐标为（1，y），
要想使四边形ABEF为平行四边形，E、F两点必须关于AB对称，
又∵点E在对称轴上，故点F也应该在对称轴上，
又∵点F在抛物线上，
故点F应该在抛物线的顶点C的位置时四边形ABEF为平行四边形，
故点F的坐标为（1，2），点E坐标为（1，-2）