Question

如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）相交于点E，且CE=DE，过点B作CD的平行线交AD延长线于点F．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）连接BC，若⊙O的半径为4，sin∠BCD=，求CD的长？

Answer

（1）由AB是⊙O的直径，CE=DE，得∠AED=90°，再由CD∥BF，得∠ABF=∠AED=90°，从而得出BF是⊙O的切线；
（2）连接BD，因为AB是⊙O的切线，则∠ADB=90°，再由sin∠BCD=，求得AD，根据三角形的面积得DE的长，从而得出CD．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CE=DE，
∴AB⊥CD（垂径定理），
∴∠AED=90°，
∵CD∥BF，
∴∠ABF=∠AED=90°，
∴BF是⊙O的切线；

（2）【解析】
连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=AB•sin∠BAD=AB•sin∠BCD=8×=6，
∴AD==2，
∵S△ABD=AB•DE=AD•BD，
∴DE==，
∴CD=2DE=3．