Question

已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延长线于点D．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若OG=3，求⊙O半径的长．

Answer

（1）连接OC．欲证明FD是⊙O的切线，只需证明∠FCO=90°；
（2）连接CB．根据等腰三角形AOC和等腰三角形OBC的两腰相等、底边上的中线与垂线重合的性质推知AE=EC，OE∥CB；然后由线段截平行线成比例知AO：AB=OE：CB=1：2，由平行线的性质可以证明∠COE=∠OCB，∠CBE=∠BEO，由相似三角形的判定定理AA可以判定△EGO∽△BGC，相似三角形的对应边成比例，所以有OG：GC=OE：BC=1：2，从而求得半径OC=9．
【解析】
（1）证明：连接OC．
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO（3分）
∵OE⊥AC∠FCA=∠AOE
∴∠A+∠AOE=∠ACO+∠FCA=90°（5分）
∴∠FCO=90°
∴FD是⊙O的切线（7分）

（2）连接CB．
∵AO=OB，OE⊥AC
∴AE=EC，OE∥CB（3分）
AO：AB=OE：CB=1：2，∠COE=∠OCB，∠CBE=∠BEO，
∴△EGO∽△BGC（5分）
OG：GC=OE：BC=1：2
∴CG=6
半径OC=9（7分）