Question

如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

Answer

（1）已知A点的坐标，就可以求出OA的长，根据OA=OC，就可以得到C点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数解析式．
（2）点P的位置应分P在AB和BC上，两种情况进行讨论．当P在AB上时，△PMB的底边PB可以用时间t表示出来，高是MH的长，因而面积就可以表示出来．
（3）本题可以分两种情况进行讨论，当P点在AB边上运动时：设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，证明△AQP∽△CQO，根据相似三角形的对应边的比相等，以及勾股定理可以求出AQ，QC的长，在直角△OHB中，根据勾股定理，可以得到tan∠OQC．
当P点在BC边上运动时，可证△BHM∽△PBM和△PQC∽△OQA，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出OK，KQ就可以求出．
【解析】
（1）过点A作AE⊥x轴垂足为E，如图（1）
∵A（-3，4），
∴AE=4 OE=3，
∴OA==5，
∵四边形ABCO为菱形，
∴OC=CB=BA=0A=5，
∴C（5，0）（1分）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵，
∴，
∴直线AC的解析式为y=-x+．（1分）

（2）由（1）得M点坐标为（0，），
∴OM=，
如图（1），当P点在AB边上运动时
由题意得OH=4，
∴HM=OH-OM=4-=，
∴s=BP•MH=（5-2t）•，
∴s=-t+（0≤t＜），2分
当P点在BC边上运动时，记为P1，
∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM，
∴△OMC≌△BMC，
∴OM=BM=，∠MOC=∠MBC=90°，
∴S=P1B•BM=（2t-5），
∴S=t-（＜t≤5），2分

（3）设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，
∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，
∴∠MPB=∠AOH，
∴∠MPB=∠MBH．
当P点在AB边上运动时，如图（2）
∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，
∵MH⊥PB，
∴PH=HB=2，
∴PA=AH-PH=1，
∴t=，（1分）
∵AB∥OC，
∴∠PAQ=∠OCQ，
∵∠AQP=∠CQO，
∴△AQP∽△CQO，
∴==，
在Rt△AEC中，AC===4，
∴AQ=，QC=，
在Rt△OHB中，OB===2，
∵AC⊥OB，OK=KB，AK=CK，
∴OK=，AK=KC=2，
∴QK=AK-AQ=，
∴tan∠OQC==，（1分）
当P点在BC边上运动时，如图（3），
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴=，即=，
∴BP=，
∴t=，（1分）
∴PC=BC-BP=5-．
由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA，
∴=，
∴=，
CQ=AC=，
∴QK=KC-CQ=，
∵OK=，
∴tan∠OQK=．（1分）
综上所述，当t=时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为．
当t=时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1．