Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1． 设CF=kEF，则k=______；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

Answer

（1）由F为BD中点，DE⊥AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CF=EF；
（2）过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．由tan∠BAC=，得到．证明△BCG∽△ACE，得到．得到GB=DE，得到F是EG中点．于是，即可得到BE-DE=EG=2CF；
（3）分类讨论：当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，tan∠BAC=，且BC=6，计算出AC=12，AB=．M为AB中点，则CM=，FM==2．当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=；当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为．即可得到线段CF长度的最大值．
【解析】
（1）∵F为BD中点，DE⊥AB，
∴CF=BD，EF=BD，
∴CF=EF，
∴k=1；
故答案为1．

（2）如图，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．

由题意，tan∠BAC=，
∴．
∵D、E、B三点共线，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴
∴GB=DE．
∵F是BD中点，
∴F是EG中点．
在Rt△ECG中，，
∴BE-DE=EG=2CF；

（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，

∵∠ACB=90°，tan∠BAC=，且BC=6，
∴AC=12，AB=．
∵M为AB中点，
∴CM=，
∵AD=，
∴AD=4．∵M为AB中点，F为BD中点，
∴FM==2．
如图：∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，
此时CF=CM+FM=．
情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，
类似于情况1，可知CF的最大值为．
综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的
三等分点时，线段CF的长度取得最大值为．