Question

如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？

Answer

（1）因为所求AB或x在△ABC中，所以可利用三角形三边之间的关系即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行解答．
（2）应该分情况讨论，因为不知道在三角形中哪一个是作为斜边存在的．所以有三种情况，即：①若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解．
②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得，满足1＜x＜2．
③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得，满足1＜x＜2．
∴或．
（3）在△ABC中，AB的值固定不变，即可视为底边不变，但是因为三角形形状不固定，
高在发生变化，所以造成面积不固定，需分情况进行讨论．具体分①若点D在线段AB上，②若点D在线段MA上两种情况．
【解析】
（1）∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x．
∴，
解得1＜x＜2；

（2）①若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解，
②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得，满足1＜x＜2，
③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得，满足1＜x＜2，
∴或；

（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，
设CD=h，△ABC的面积为S，则，
①若点D在线段AB上，
则，
∴，
即，
∴x2（1-h2）=9x2-24x+16，
即x2h2=-8x2+24x-16．
∴S2=x2h2=-2x2+6x-4=-2（x-）2+（≤x＜2），
当时（满足≤x＜2）S2取最大值，从而S取最大值；
②若点D在线段MA上，
则，
同理可，得
S2=x2h2=-2x2+6x-4
=-2（x-）2+（1＜x≤），
易知此时，
综合①②得，△ABC的最大面积为．