Question

如图，已知抛物线的顶点为M（5，6），且经过点C（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与y轴交于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，则抛物线上存在点P，使△ABP的面积等于△ABO的面积，请求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）将抛物线向右平移，使抛物线经过点（5，0），请直接答出曲线段CM（抛物线图象的一部分，如图中的粗线所示）在平移过程中所扫过的面积．

Answer

（1）设抛物线的解析式为y=a（x-5）2+6，将C（-1，0）代入，利用待定系数法可得，则所求抛物线的解析式为；
（2）先根据函数解析式求得OA=，结合AB∥x轴，OA⊥AB的性质可知点P到AB的距离为，设点P的坐标为或（x，0），①将代入，解得
②将（x，0）代入，解得x3=-1，x4=11，综合可知点P的坐标为、、（-1，0）、（11，0）．
（3）曲线段CM在平移过程中所扫过的面积可看作为底为6，高为6的平行四边形的面积，故为36．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x-5）2+6（1分）
将C（-1，0）代入，
得0=a（-1-5）2+6，
解得（2分）
∴所求抛物线的解析式为（1分）；

（2）∵当x=0时，y=，
∴OA=（1分）
∵AB∥x轴，
∴OA⊥AB
∵S△ABO=S△ABP
∴点P到AB的距离为（2分）
∴设点P的坐标为或（x，0）
将代入，
解得（2分）
将（x，0）代入，
解得x3=-1，x4=11（2分）
∴点P的坐标为、、（-1，0）、（11，0）（1分）；

（3）∵曲线段CM在平移过程中所扫过的面积可看作为底为6，高为6的平行四边形的面积，
∴所扫过的面积为36．（2分）