Question

已知：抛物线y=-x²+（k+1）x+2k+1经过点A（0，3）．
（1）求k的值；
（2）设抛物线交x轴于B、C两点（B在C右边），点P（m，n）是抛物线上的一个动点，且位于直线AB上方，设△PAB的面积为s，试写出s关于x的函数关系式，并求出s的最大值；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．

Answer

（1）将A点坐标代入抛物线解析式，可求k的值；
（2）求出抛物线与直线AB的解析式，用m表示P、E两点的纵坐标，得出PE长的表达式，由s=×PE×OB求△PAB面积的表达式，利用二次函数的性质求最大值；
（3）设圆的半径为r，分为EF在x轴上方时，EF在x轴下方时，两种情况，由抛物线与圆的对称性，圆心在抛物线对称性x=1上，可知点F的坐标为（r+1，r）或（r+1，-r），分别代入抛物线解析式可求r的值．
【解析】
（1）∵抛物线经过点A（0，3），
∴2k+1=3，
∴k=1；（3分）

（2）作PD⊥x轴于点D，交直线AB于E点，
∵k=1时，抛物线解析式为y=-x2+2x+3，则A（0，3），B（3，0），
∴直线AC解析式为y=-x+3，
∵点P（m，n）在抛物线上，
∴n=-m2+2m+3，PE=（-m2+2m+3）-（-m+3）=-m2+3m，
∴s=×PE×OB=（-m2+3m）=-（m-）2+，
∴当m=时，s取最大值为；（7分）

（3）设圆的半径为r．
①当EF在x轴上方时，
由抛物线及直线与圆相切的性质可得：点F的坐标为（r+1，r）
代入y=-x2+2x+3得：-（r+1）2+2（r+1）+3=r，
即r2+r-4=0
解得：（r取正数）（10分）
②当EF在x轴下方时，
由抛物线及直线与圆相切的性质可得：点F的坐标为（r+1，-r），
代入y=-x2+2x+3得：-（r+1）2+2（r+1）+3=-r，
即r2-r-4=0，
解得：（r取正数）
由①②知：或．（13分）