Question

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=AD=a，∠C=60°，点E从点B出发向点D移动，以点E为圆心，半径为1作圆，记⊙E到AB的距离为d．
（1）若a=2，当d为何值时，⊙E与AD相切？
（2）当a为何值时，⊙E在运动过程中会与AB、AD同时相切？

Answer

（1）取BC中点为F，连接AF，DF，设AF与BD交点为G，则AF，BD为菱形ABFD的对角线，AF垂直BD，∠ADB=∠ABD=30度，由三角函数求出d；
（2）当圆E与AB，AD同时相切时，E点与G点重合且EM=1，利用三角函数求得DE和AD，进而求出a．
【解析】
取BC中点为F，连接AF，DF，设AF与BD交点为G，AF，BD为菱形ABFD的对角线，AF垂直BD，∠ADB=∠ABD=30°，
（1）若a=2，AG=AD•sin30°=1，
当圆E与AD相切时，设切点为M，即EM=1=AD，
此时ED=AD=2，BE=BD-ED=2×2cos30°-2=2-2，
E到AB距离为BEsin30°=（2-2）=-1；

（2）当圆E与AB，AD同时相切时，E点与G点重合且EM=1，
则DE=1÷sin30°=2，
AD=DE÷cos30°=2÷=，
即a=．