Question

已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）若将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合，梯形ABCD应满足什么条件，能使四边形ABFC为菱形？并加以证明．

Answer

（1）由AB∥DC，即可得∠CFE=∠BAE，又由CE=BE，∠CEF=∠BEA，证得△CEF≌△BEA，则可得AB=CF；
（2）由△CEF≌△BEA，易证得四边形ABFC是平行四边形，又由折叠的性质，可得AC=CF，则可得当梯形ABCD是直角梯形，∠D=90°时，四边形ABFC为菱形．
（1）证明：∵AB∥DC，CF是DC的延长线，
∴CF∥AB，（1分）
∴∠CFE=∠BAE，（2分）
又∵CE=BE，∠CEF=∠BEA，
∴△CEF≌△BEA，（3分）
∴AB=CF；（4分）

（2）当梯形ABCD是直角梯形，∠D=90°时，四边形ABFC为菱形．（5分）
证明：∵△CEF≌△BEA，
∴AB=CF，EF=EA，
∴四边形ABFC是平行四边形，（6分）
由折叠得∠AEC=∠D=90°，
∴AC=CF，（7分）
所以四边形ABFC为菱形（8分）．