Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，AC=CD，BD=．
（1）当∠A为何值时，CD是⊙O的切线？请说明理由；
（2）在（1）的情况下，求图中阴影部分的面积（结果用含根号、π的式子表示）．

Answer

（1）连接OC，可用不同的方法证明，根据OA=OC，则∠A=∠C=30°，可求出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；
（2）可证明△BOC是等边三角形，则∠OCB=60°，可得出∠BCD=∠D，由三角函数CD=OC•tan60°，得出CD的长，因为S阴影=S△OCD-S扇形BOC，所以可得出答案．
【解析】
（1）当∠A=30°时，CD是⊙O的切线．（1分）
理由：连接OC，如图．
方法一：∵OA=OC，∴∠A=∠C=30°
∴∠COD=∠A+∠OCA=60°（2分）
又∵AC=CD，∴∠D=∠A=30°（3分）
∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=90°
所以CD是⊙O的切线（4分）
方法二：∵CD是⊙O的切线
∴∠OCD=90°（2分）
∵AC=CD，∴∠D=∠A=30°（3分）
又∵OA=OC，∴∠COD=2∠A=2∠D
∴∠A=30°（4分）

（2）∵OB=OC，∠COD=60°，
∴△BOC是等边三角形，∴∠OCB=60°
∴∠BCD=∠OCD-∠OCB=90°-60°（5分）
∴∠BCD=∠D
∴OC=BC=BD=（6分）．
CD=OC•tan60°=×=3．（7分）
∴S阴影=S△OCD-S扇形BOC=××3-=-．（8分）