Question

已知AB是半圆O的直径，AB=16，P点是AB上的一动点（不与A、B重合），PQ⊥AB，垂足为P，交半圆O于Q；PB是半圆O₁的直径，⊙O₂与半圆O、半圆O₁及PQ都相切，切点分别为M、N、C．
（1）当P点与O点重合时（如图1），求⊙O₂的半径r；
（2）当P点在AB上移动时（如图2），设PQ=x，⊙O₂的半径r．求r与x的函数关系式，并求出r取值范围．

Answer

（1）、由勾股定理得OO22-OD2=O2D2=O1O22-O1D2，可求得r的值；
（2）、连接O1O2、OO2，作O2D⊥AB于D，由射影定理和勾股定理可求得r与x的函数关系式．
【解析】
（1）连接OO2、O1O2、O2C，作O2D⊥AB于D．（1分）
∵⊙O2与⊙O、⊙O1、PQ相切，
∴OO2=8-r，（2分）
O1O2=4+r．（3分）
∵四边形ODO2C是矩形，
∴OD=r，O1D=4-r（4分）
根据勾股定理得：OO22-OD2=O2D2=O1O22-O1D2，
即：（8-r）2-r2=（r+4）2-（4-r）2，（5分）
∴r=2；（6分）

（2）∵AB是⊙O直径，PQ⊥AB
∴PQ2=AP•PB
设⊙O1半径是a，
则x2=2a（16-2a）=4（8a-a2）．
连接O1O2、OO2，作O2D⊥AB于D
∴O1O2=a+r，OO2=8-r，O1D=O1P-PD=a-r，OD=PB-PD-OB=2a-r-8，（8分）
根据勾股定理得；O1O22-O1D2=OO22-OD2，
即：（a+r）2-（a-r）2=（8-r）2-（2a-r-8）2，（9分）
化简得：8r=7a．
∴x2=32r，即（10分）
∵0≤x≤8，
∴0＜r≤2．（12分）
说明：其它解法相应给分