Question

如图，已知一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k＞0）的图象相交于A（1，）、B（-3，）两点，且与x轴相交于点C．连接OA、OB．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点Q为反比例函数（k＞0）图象上的动点，在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得以P、Q、O为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）把A，B的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求解；
（2）求得一次函数与x轴的交点，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC即可求解；
（3）根据三角函数即可确定∠ACO=30°，判断△OAC是底角为30°的等腰三角形，作QH⊥x轴，H为垂足，Rt△QOH中利用三角函数即可求得Q的坐标．
取OP1=2OH=，则∠QP1O=30°．过点Q作∠P2QO=30°，交x轴于点P2，则△OP2Q∽△COA．根据双曲线的对称性，故可将△AOC绕原点O旋转180°，得到△Q′O P3，由此可得点 Q′必在双曲线左支上，点P3在x轴正半轴上．即可求解．
【解析】
（1）∵一次函数与反比例函数相交于A、B两点，
∴与，∴，．（3分）
∴所求一次函数的解析式是，
所求反比例函数的解析式是．（4分）

（2）解法（一）：由一次函数，令y=0，得x=-2．
∴点C的坐标是（-2，0）．（5分）
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=（6分）=．（8分）
解法（二）：分别过点A、B作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，且分别延长相交于G，
∴S△AOB=S△ABG-S△BOF-S△AOE-S矩形OFGE==（6分）=．（8分）

（3）设直线AC交y轴于点D，
∵，
∴．
在Rt△COD中，
∵tan∠DCO=，
∴∠DCO=30°，即∠ACO=30°．
在Rt△AOE中，
∵tan∠AOE=，
∴∠AOE=60°．∴∠OAC=∠AOE-∠ACO=30°．
∴△OAC是底角为30°的等腰三角形．（9分）
作∠QOX=30°与反比例函数（x＞0）的图象交于点Q，设Q（），
作QH⊥x轴，H为垂足，
在Rt△QOH中，tan30°=，∴m2=3，∴（取正数）
∴（10分）
取OP1=2OH=，则∠QP1O=30°．
∴△P1QO∽△AOC．∴．（11分）
过点Q作∠P2QO=30°，交x轴于点P2，∴△OP2Q∽△COA．
由∠QP2H=60°，得，
∴P2Q=．∴．（12分）
根据双曲线的对称性，故可将△AOC绕原点O旋转180°，得到△Q′O P3，由此可得点 Q′必在双曲线左支上，点P3在x轴正半轴上．
∴，P3（2，0）．（14分）
综上所述，所有符合条件的点的坐标分别是，，P3（2，0）．