Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=-x²+bx+3的图象经过点A（-1，0），顶点为P．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）顶点P的坐标为______；此抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为______；
（3）若抛物线与y轴交于C点，求△ABC的面积；
（4）在x轴上方的抛物线上是否存在一点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请直接写出点D的坐标．

Answer

（1）将A点坐标代入二次函数y=-x2+bx+3求得b的值即可．
（2）将求得的函数解析式写成顶点坐标式，求出顶点坐标，并令y=0，求得与x轴的另一个交点B的坐标．
（3）令x=0，求得C点坐标，由A、B、C三点坐标求得△ABC的面积．
（4）假设存在一点D，则D点的纵坐标为3，令y=3，求得x的值，若x能取得不为0的值，则存在．
【解析】
（1）将A（-1，0）代入y=y=-x2+bx+3中，得：b=2，
所以二次函数解析式为y=-x2+2x+3；

（2）将y=-x2+2x+3变形得y=-（x-1）2+4，则顶点P的坐标为
（1，4），
令y=0，则求得B点坐标（3，0）；

（3）当x=0时，y=3，所以C点坐标（0，3），
所以△ABC的面积=×|3-（-1）|×3=6；

（4）D（2，3）．