Question

已知：如图，在⊙O中，AB是弦，PF切⊙O于点B，直线PE过A点，若PB=PA．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）在满足（1）的情况下，当∠APB=120°，B、C分别是⊙O的三等分点，连接BC，且PB=时，求BC弦的长．

Answer

（1）先连接OA、OB、OP，已知AB是弦，PF切⊙O于点B，从而得出∠OBP=90°，再根据SSS定理证明△APO≌△BPO，从而证明∠OAP=∠OBP=90°．所以OA⊥PA，且OA为⊙O半径，根据切线的性质从而证得答案；
（2）先连接OC，由等于⊙O圆周的三分之一，得出∠COB=120°，再由（1）得到∠AOB=60°，由切线长定理可得∠OPB=60°，在Rt△OPB中，由已知条件可求出OB=6，从而证得A、O、C在同一直线上，AC为⊙O直径，且AC=2OB=12．所以．再在Rt△ABC中，利用BC=AC•cos∠C即可得到答案．
（1）证明：连接OA、OB、OP．
∵⊙O中，AB是弦，PF切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°．
在△APO和△BPO中
∴△APO≌△BPO．
∴∠OAP=∠OBP=90°．
∴OA⊥PA，且OA为⊙O半径，
∴PE是⊙O的切线．

（2）【解析】
连接OC．
∵等于⊙O圆周的三分之一，
∴∠COB=120°．
由（1）可知∠OAP=∠OBP=90°，∠APB=120°
∴四边形APBO中，∠AOB=60°，
由切线长定理可得，
在Rt△OPB中，由PB=，得．
∵∠COB+∠AOB=120°+60°=180°，
∴A、O、C在一条直线上．
∴AC为⊙O直径，且AC=2OB=12．
∴．
在Rt△ABC中，．
若有其它方法酌情给分．