Question

如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4，2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx²-（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值．

Answer

过B作BE⊥AD于E，连接OB、CE交于点P，根据矩形OCBE的性质求出B、P坐标，然后再根据相似三角形的性质求出k的值，将解析式y=mx2-（3m+k）x+2m+k中的k化为具体数字，再分m=0和m≠0两种情况讨论，得出m的值．
【解析】
过B作BE⊥AD于E，连接OB、CE交于点P，
∵P为矩形OCBE的对称中心，则过点P的直线平分矩形OCBE的面积．
∵P为OB的中点，而B（4，2），
P点坐标为（2，1），
在Rt△ODC与Rt△EAB中，OC=BE，AB=CD，
Rt△ODC≌Rt△EAB（HL），Rt△ODC≌Rt△EBA，
∵P点坐标为（2，1），点P在直线y=kx-1上，
∴2k-1=1，k=1，
过点（0，-1）与P（2，1）的直线平分等腰梯形面积，这条直线为y=kx-1．
2k-1=1，则k=1．
∵关于x的函数y=mx2-（3m+1）x+2m+1的图象与坐标轴只有两个交点，
∴①当m=0时，y=-x+1，其图象与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）；
②当m≠0时，函数y=mx2-（3m+1）x+2m+1的图象为抛物线，且与y轴总有一个交点（0，2m+1），
若抛物线过原点时，2m+1=0，
即m=-，此时，△=（3m+1）2-4m（2m+1）=（m+1）2≥0，
故抛物线与x轴有两个交点且过原点，符合题意．
若抛物线不过原点，且与x轴只有一个交点，也符合题意，此时△=（m+1）2=0，m=-1．
综上所述，m的值为：m=0或-1或-．