Question

如图，四边形ABCD中，一组对边AB=DC=4，另一组对边AD≠BC，对角线BD与边DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的中点，且∠ABD=30°．
求：（1）MH的长；
（2）MN的长．

Answer

（1）根据中位线的性质，中位线平行于底边且等于底边的一半，可求出解．
（2）根据条件判断出三角形MHN是等腰三角形，然后用三角函数可求出解．
【解析】
（1）∵M、H分别是AD，BD的中点，
∴MH∥AB，MH=AB．
∵AB=4，
∴MH=2；

（2）连接HN，作HQ⊥MN，交MN于点Q．
同（1）可知，HN∥DC，HN=2．
∴△MHN是等腰三角形．
∵∠ABD=30°，∠BDC=90°，
∴∠MHN=120°．
∵HQ⊥MN，
∴HQ平分∠MHN，NQ=QM．
∵MH=2，∠MHQ=60°，
∴MQ=HM•sin60°=，
∴MN=2MQ=2．