如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC=4,AB边上有一动点P(不与A、B重合),连接DP,作PQ⊥DP,使得PQ交射线BC于点E,设AP=x.
(1)当x为何值时,△APD是等腰三角形;
(2)若设BE=y,求y关于x的函数关系式;
(3)若BC的长可以变化,是否存在点P,使得PQ经过点C?若不存在,请说明理由,若存在并直接写出当BC的长在什么范围内时,可以存在这样的点P,使得PQ经过点C.
考点分析:
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已知:如图,平行四边形ABCD在平面直角坐标系中,AD=6.OA、OB的长是关于x的方程x
2-7x+12=0的两个根,且OA>OB.
(1)求cos∠ABC的值;
(2)若E是x轴正半轴上的一点,且
,求经过D、E两点的直线的解析式,并判断△AOE与△DAO是否相似,同时说明理由;
(3)点M在平面直角坐标系中,点F在直线AB上,如果以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形,请直接写出F点坐标.
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在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=a,BC=b,AB=c.
操作示例
如图1,当∠B=∠A=90°,我们可以取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中点P,过点P作PE∥AB,裁掉△PEC,并将△PEC拼接到△PFD的位置,构成新的图形(如图2).
思考发现
小明在操作后发现,该剪拼方法就是先将△PEC绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置,易知PE与PF在同一条直线上.又因为在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C+∠ADP=180°,则∠FDP+∠ADP=180°,所以AD和DF在同一条直线上,那么构成的新图形是一个四边形,进而根据平行四边形的判定方法,可以判断出四边形ABEF是一个平行四边形,而且还是一个特殊的平行四边形--矩形.
实践探究
(1)矩形ABEF的面积是______; (用含a,b,c的式子表示)
(2)类比图2的剪拼方法,请在如图3的梯形ABCD中画出剪拼成一个平行四边形的示意图;
(3)在如图4的多边形ABCDG中,AG=CD,AG∥CD,按上面的剪切方法沿一条直线进行剪切,拼成一个平行四边形,请画出拼成的平行四边形的示意图.
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如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,
(1)求证:△ABE∽△ADB;
(2)求AB的长;
(3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由.
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已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AC=5,BD=12,若E是BC上的一点,BE=6.5,求DE的长.
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在学校组织的“知荣明耻,文明出行”的知识竞赛中,每班参加比赛的人数相同,成绩分为A,B,C,D四个等级,其中相应等级的得分依次记为100分,90分,80分,70分,学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图:
请你根据以上提供的信息解答下列问题:
(1)此次竞赛中二班成绩在C级以上(包括C级)的人数为______;
(2)请你将表格补充完整:
| 平均数( 分) | 中位数( 分) | 众数( 分) |
一班 | 87.6 | 90 | |
二班 | 87.6 | | 100 |
(3)请从下列不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析:
①从平均数和中位数的角度来比较一班和二班的成绩;
②从平均数和众数的角度来比较一班和二班的成绩;
③从B级以上(包括B级)的人数的角度来比较一班和二班的成绩.
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