Question

对于任意两个二次函数：y₁=a₁x²+b₁x+c₁，y₂=a₂x²+b₂x+c₂，其中a₁•a₂≠0．当|a₁|=|a₂|时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线．现有△ABM，A（-1，0），B（1，0）．我们记过三点的二次函数的图象为“C_□□□”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．如过点A、B、M三点的二次函数的图象为C_ABM．

（1）如果已知M（0，1），△ABM≌△ABN．请通过计算判断C_ABM与C_ABN是否为全等抛物线；
（2）①若已知M（0，n），在图中的平面直角坐标系中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形．求抛物线C_ABM的解析式，然后请直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与C_ABM全等的抛物线解析式．
②若已知M（m，n），当m，n满足什么条件时，存在抛物线C_ABM？根据以上的探究结果，在图中的平面直角坐标系中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形．然后请列出所有满足过平行四边形中三个顶点且能与C_ABM全等的抛物线C_□□□”．

Answer

（1）应该是全等抛物线，由于这两个抛物线虽然开口方向不同，但是开口大小一样，因此二次项的绝对值也应该相等．可用待定系数法求出两抛物线的解析式，然后进行判断即可．
（2）①先设抛物线CABM的解析式y=ax2+bx+c，把三点代入即解得；
②当n≠0且m≠±1时，存在抛物线CABM，与CABM全等的抛物线有：CABN，CAME，CBMF．
【解析】
（1）设抛物线CABM的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线CABM过点A（-1，0），B（1，0），M（0，1），

解得：
∴抛物线CABM的解析式为y=-x2+1，从而解得．
同理可得抛物线CABN的解析式为y=x2+1，
∵|-1|=|1|，
∴CABM与CABN是全等抛物线．

（2）①设抛物线CABM的解析式y=ax2+bx+c
∵抛物线CABM过点A（-1，0），B（1，0），M（0，n），

抛物线CABM的解析式为y=-nx2+n，
与CABM全等的抛物线有：
y=nx2-n，y=n（x-1）2，y=n（x+1）2
②当n≠0且m≠±1时，存在抛物线CABM，与CABM全等的抛物线有：CABN，CAME，CBMF．