Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥AC于点E，CF平分∠ACB交BE于点G，连接DF交AC于点H，且DF⊥CF．下列结论：①BF=BG；②△AFH∽△BCG；③CF=DF；④2HA²=HD•HF．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

根据直角梯形的性质及已知条件易得出∠EGF=∠AHF，∠CBG=∠FAH，从而得出△AFH∽△BCG，故②成立，由△AFH∽△BCG及直角三角形和对顶角特点得出BF=BG，故①成立；无法证明DF=CF，故③不成立；④无法证明，故不成立．
【解析】
在直角梯形ABCD中，
∠BGC=∠EGF，∠EDF+∠EHF=180°，∠AHF+∠EHF=180°，
∴∠EGF=∠AHF，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠DAH，
∵∠DAH+∠FAH=90°，∠BCE+∠CBG=90°，
∴∠CBG=∠FAH，
∴△AFH∽△BCG，
故②成立，
∵△AFH∽△BCG，
∴∠2=∠AFD，
∵∠AFD+∠3=90°，∠4=∠CGE，∠CGE+∠1=90°，
∴∠3=∠CGE=∠4，
∴BF=BG，
故①成立，
无法证明DF=CF，
故③不成立，
④无法证明，故不成立，
故选B．