Question

当前大学生就业形势严峻，大学生小涛自主研发了某产品，决定自主创业，经过市场调研，开办工厂需投资90万元，每件产品生产成本需40元，每月还需支付其它开支15万元，预计该产品每月销售y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如下图所示．
（1）求预计每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系；
（2）小涛开办工厂，估计最快需几个月可以收回投资；
（3）小涛希望在收回投资后，每月盈利25万元，则工厂每月销售多少件产品？

Answer

（1）利用图象上点的坐标利用待定系数法代入y=kx+b，求出一次函数解析式即可；
（2）利用图象上的点的坐标得出售价与利润之间的关系，进而求出答案；
（3）结合（2）中结论可以得出定价与销量之间的关系即可得出答案．
【解析】
（1）设预计每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=kx+b，由题意得：
①（40≤x≤60），
解得：，
∴y=-0.1x+8，
②（60≤x≤80），
解得：，
∴y=-0.05x+5，

（2）设每月利润为W万元，则有
当40≤x≤60时，W=（-0.1x+8）（x-40）-15=-0.1（x-60）2+25，
当60≤x≤80时，W=（-0.05x+5）（x-40）-15=-0.05（x-70）2+30，
即：当40≤x≤60时，x=60时，W的最大值为25万元，
当60≤x≤80时，x=70时，W的最大值为30万元．
所以最快需3个月可以收回90万元的投资．

（3）当收回投资后，每月要盈利25万元，
即：当售价定为60元，
25万=20000×（60-40）-15万，
即生产2万件，
当售价定为80元，
25万=10000×（60-40）-15万，
即生产1万件．