Question

已知：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE=2．若点F从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向移动，当点F运动x（x＞0）秒时，射线FD与过点A且平行于BC的直线交于点G，连接GE交AD于点O，并延长交BC延长线于点H．
（1）求△EGA的面积S与点F运动时间x的函数关系；
（2）当时间x为多少秒时，GH⊥AB；
（3）证明△GFH的面积为定值．

Answer

（1）在三角形EGA中，底边AG的长可通过相似三角形ADG和BDF利用相似三角形的对应边成比例求出，而AG边上的高可用AE•sin60°来表示，然后利用三角形的面积公式即可得出S、t的函数关系式；
（2）当AB⊥GE时，连接DE，由已知推出三角形ADE是等边三角形，可得∠AEG=60°，即∠AEG=∠DEO=30°，然后根据AG与DE的平行得出内错角的相等求出∠AGE=30°，进而根据等角对等边可得出AG=AE=2，在（1）中已经求出了AG的表达式），根据得出的等量关系即可求出t的值；
（3）由GA∥BC，DE∥BC，分别得出比例，经过转化可得出FH=BC，又由图观察可知△ABC与△GFH的高相等，所以
△ABC与△GFH的面积相等，求出等边三角形ABC的面积即为三角形GFH的面积，所以△GFH的面积为定值．
【解析】
（1）如图，∵GA∥BC
∴
又∵AB=6，AD=2
∴DB=4
∵BF=t
∴
∴AG=t
过点E作EK⊥AG，垂足为K，
∵∠BCA=60°，
∴∠CAK=60°，
∴∠AEK=30°，
∵AE=2，
∴AK=1，根据勾股定理得：EK=，
∴S=AG•EK=×t×=t；

（2）如图，连接DE，由AD=AE可知，△ADE为等边三角形．
∵AB⊥HG，
根据等腰三角形的三线合一可知：AO=OD，∠AEO=∠DEO，
∵GA∥DE，
∴∠AGE=∠OED，
∴∠AGE=∠AEO，
∴AG=AE=2，
∴t=2，
∴t=4，
即当t=4时，AB⊥HG；

（3）∵GA∥BC，
∴，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴FH=BC，
∵△ABC与△GFH的高相等，
∴S△GFH=S△ABC=×6×3 =9 ，
∴不论t为何值，△GFH的面积均为9 ；