Question

若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．

Answer

（1）只需在矩形的长上截取AE=AD，DF=AD，连接EF即可，
（2）可以结合（1）中正方形的性质求得矩形EBCF的宽与长的比进行分析．
【解析】
（1）如图：以A为圆心，在AB上截取AE=AD，
以D为圆心，在DC上截取DF=DA，
连接EF，
所以四边形AEFD为所求作的正方形；

（2）答：四边形EBCF是黄金矩形．
证明：∵四边形AEFD是正方形，
∴∠AEF=90°，
∴∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°
∴∠BEF=∠B=∠C=90°，
∴四边形EBCF是矩形．
设CD=a，AD=b，则有，
∴，
∴矩形EBCF是黄金矩形．