Question

已知，点Q是正方形ABCD内的一点，连QA、QB、QC．
（I）将△QAB绕点B顺针旋转90°到△Q'CB的位置（如图①所示）．若QA=1，QB=2，∠AQB=135°，求QC的长．
（II）如图②，若QA²+QC²=2QB²，请说明点Q必在对角线AC上．

Answer

（I）△BQ'C由△BQA旋转得到，△QQ'C是直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（II）过Q点作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N，证明∠MAQ=45°即可．
【解析】
（I）【解析】
△BQ'C由△BQA旋转得到，
∴Q'C=QA=1，BQ'=BQ=2，∠BQ'C=∠BQA=135°，∠Q'BC=∠ABQ，
∴∠QBQ'=∠ABC=90°（1分）
连接QQ'，则∠QQ'B=∠Q'QB=45°（2分）
∴．（3分）∠QQ'C=135°-45°=90°（4分）
在Rt△QQ'C中，（5分）

（II）证明：过Q点作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N（6分）
设正方形的边长为a，QM=x，QN=y，
则AM=a-y，CN=a-x（7分）
在Rt△QMA中，QA2=QM2+AM2=x2+（a-y）2
在Rt△QNC中，QC2=QN2+CN2=y2+（a-x）2
在Rt△QMB中，QB2=QM2+BM2=x2+y2（8分）
∵QA2+QC2=2QB2
∴x2+（a-y）2+y2+（a-x）2=2（x2+y2）
得a=x+y（9分）
∴AM=QM∴∠MAQ=45°
∴Q点在对角线AC上（10分）