Question

在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．
（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；
（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；
（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．

Answer

（1）S阴=S△OAB+S扇形OBB′-S△OAA′-S扇形OAA′，根据公式即可求解．
（2）延长BA交y轴于E点，可以证明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN证得：OE=ON，AE=CN，MN=ME=AM+AE=AM+CN．从而求得：P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．即可求解．
（3）Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，所以（1-n）2+（1-m+n）2=m2⇒m2-mn+2-m=0．把这个方程看作关于n的方程，根据一元二次方程有解得条件，即可求得．
【解析】
（1）如图，S阴=S△OAB+S扇形OBB'-S△OA'B′-S扇形OAA'
=S扇形OBB′-S扇形OAA′=π-π×12=（6分）

（2）p值无变化（7分）
证明：延长BA交y轴于E点，
在△OAE与△OCN中，

∴△OAE≌△OCN（AAS）
∴OE=ON，AE=CN（8分）
在△OME与△OMN中，

∴△OME≌△OMN（SAS）
∴MN=ME=AM+AE=AM+CN（9分）
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2；

（3）设AM=n，则BM=1-n，CN=m-n，BN=1-m+n，
∵△OME≌△OMN，
∴S△MON=S△MOE=OA×EM=m（11分）
在Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2
∴（1-n）2+（1-m+n）2=m2⇒m2-mn+1-m=0
∴△=m2-4（1-m）≥0⇒m≥2-2或m≤-2-2，
∴当m=2-2时，△OMN的面积最小，为-1．
此时n=-1，
则BM=1-n=2-，BN=1-m+n=2-，
∴Rt△BMN的内切圆半径为=3-2．