Question

某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
（1）若该商场获利为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？
（2）若该商场获利不低于500元，试确定销售单价x的范围．

Answer

（1）先用待定系数法求出y与x之间的一次函数关系式，然后根据利润=销售量×（销售单价-成本）得到W与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质，求出商场获得的最大利润以及获得最大利润时的售价．
（2）由w=500推出x2-180x+7700=0解出x的值即可．
【解析】
（1）将 ，代入y=kx+b中 ，
解得：，
∴y=-x+120，
∴W=（-x+120）（x-60），
W=-x2+180x-7200，
W=-（x-90）2+900，
又∵60≤x≤60×（1+45%），
即60≤x≤87，
则x=87时获利最多，
将x=87代入，得W=-（87-90）2+900=891元；
答：售价定为87元时，商场可以获利最大，最大利润为891元；

（2）由W≥500，得500≤-x2+180x-7200，
整理得，x2-180x+7700≤0，
而方程x2-180x+7700=0的解为 x1=70，x2=110，
即x1=70，x2=110时利润为500元，而函数y=-x2+180x-7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，
而60元/件≤x≤87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．