Question

如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接CD且DC=BC，过C点作AD的垂线交AD延长线于E，
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

Answer

（1）连接OC，OA=OC，则∠OCA=∠OAC，再由已知条件，可得∠ODE=90°；
（2）由CE是⊙O的切线，得∠DCE=∠CAE=∠CAB，从而求得tan∠DCE的值．
（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵DC=BC，
∴=，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠CAD+∠ACE=90°，∠ACE+∠ACO=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵CE是⊙O的切线，
∴∠DCE=∠CAE，
∵BD=CD，
∴∠CAE=∠CAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，AC=4，
∴BC=3，
∴tan∠DCE=tan∠BAC==．