Question

已知关于x的一元二次方程ax²+x+2=0
（1）求证：当a＜0时，方程ax²+x+2=0一定有两个不等的实数根；
（2）若代数式-x²+x+2的值为正整数，且x为整数时，求x的值；
（3）当a=a₁时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0）；当a=a₂时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0）；若点M在点N的左边，试比较a₁与a₂的大小．

Answer

（1）求出b2-4ac的值，根据正负即可判断；
（2）求出原式=-（x2-x-2）的范围确定其整数，得出1，2，算出-x2+x+2=1和-x2+x+2=2的解即可；
（3）把a=a1，a=a1代入求出其值，求出a1-a2的值即可．
【解析】
（1）△=1-8a
∵a＜0，
∴-8a＞0即：△＞0
∴方程ax2+x+2=0一定有两个不等的实数根．

（2）：原式=-（x2-x-2），
=-+
∵不论x为何值，-（x-）2≤0，
∴原式=-（x-）2+≤，
∵代数式-x2+x+2的值为正整数，
∴代数式-x2+x+2的值为1，2，
当-x2+x+2=1时，这时x的值不是整数，不符合题意，舍去；
当-x2+x+2=2时，x=0或1，
答：x的值是0或1．

（3）【解析】
∵当a=a1时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0），
∴0=a1m2+m+2①，
∵当a=a2时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0），
∴0=a2n2+n+2②，
∴，，
∴=，

∵点M在点N的左边，且M、N均在x轴正半轴，
∴m＞0，n＞0，m＜n，
∴mn+2m+2n＞0，m-n＜0，m2n2＞0，
∴a1-a2=，
∴a1＜a2．