Question

已知关于x的一元二次方程ax²+x-a=0（a≠0）．
（1）求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根；
（2）设x₁、x₂是该方程的两个根，若|x₁|+|x₂|=4，求a的值．

Answer

（1）求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根，即证明一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若两根之积小于0，则方程有两个异号的实数根；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把|x1|+|x2|=4变形成与两根之和与两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得a的值．
证明：（1）∵△=1+4a2．
∴△＞0．
∴方程恒有两个实数根．
设方程的两根为x1，x2．
∵a≠0．
∴x1•x2=-1＜0．
∴方程恒有两个异号的实数根；

【解析】
（2）∵x1•x2＜0．
∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=4．
则（x1+x2）2-4x1x2=16．
又∵x1+x2=-．
∴+4=16．
∴a=±．