Question

如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．
（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上一点，是否存在这样的点P，使得点P到直线CD的距离最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据A、B、D三点的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）利用直线CD解析式以及PQ的解析式求出S△PCD=S△PCQ+S△PDQ，得出有关x的解析式，进而求出最值．
【解析】
（1）∵直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（-2，0）、B（0，4）．
∵△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，
∴C（0，2）、D（4，0），
∴过A、B、D的抛物线解析式为y=-x2+x+4；

（2）∵C（0，2）、D（4，0），
∴直线CD解析式为y=-x+2，
设P（x，-x2+x+4）（0＜x＜4），
作PE⊥x轴于E，交CD于Q，
则E（x，0），Q（x，-x+2），
∴PQ=（-x2+x+4）-（-x+2）=-x2+x+2，
OE=x，DE=4-x，
∴S△PCD=S△PCQ+S△PDQ=PQ•OE+PQ•DE=PQ•OD，
=（-x2+x+2）×4=-x2+3x+4=-（x-）2+，
∴当x=时，△PCD的面积最大，也即P到CD得距离最大．
∴存在点P，使得点P到直线CD的距离最大，此时P点的坐标为（，）．