Question

已知a为实常数，关于x的方程（a²-2a）x²+（4-6a）x+8=0的解都是整数．求a的值．

Answer

此题可考虑分2种情况讨论：（1）当a2-2a=0，可先解出a的值，再把a的值代入方程求解x；（2）当a2-2a≠0时，用因式分解可求x1=，x2=，从x1=中可求a=，代入x2中，易得x1•x2+2x1-x2=0，变形可得（x1-1）（x2+2）=-2=2×（-1）=（-2）×1=1×（-2）=-1×2，由于x1和x2是整数，那么x1-1和x2+2也是整数，于是可得关于x1、x2的方程组，解即可求x1、x2（都等于0的情况舍去），进而可求a，联合（1）（2）可最终求出a的值．
【解析】
（1）当a2-2a=0，即a=2或a=0时有
A、a=2时，x=-2满足要求；
B、a=0时，x=1也满足要求；
（2）当a2-2a≠0时，
（ax-2）[（a-2）x-4]=0，
解得x1=，x2=，
∴a=，
∴x2=，
∴x1•x2+2x1-x2=0，
∴（x1-1）（x2+2）=-2=2×（-1）=（-2）×1=1×（-2）=-1×2，
∵x1和x2是整数，
∴x1-1和x2+2也是整数，
∴或或或，
解得或或或（此情况舍去），
∴a=；-2；1．
综合（1）（2）知a=0；1；±2；．