Question

已知点H（-1，2）在二次函数y=x²-2x+m的图象C₁上．
（1）求m的值；
（2）若抛物线C₂：y=ax²+bx+c与抛物线C₁关于y轴对称，且Q₁（-2，q₁）、Q₂（-3，q₂）在抛物线C₂上，则q_1＜q₂（用“=”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”填空．）
（3）设抛物线C₂的顶点为M，抛物线C₁的顶点为N，请问在抛物线C₁或C₂上是否存在点P，使以点P、M、N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）小题把H的坐标代入二次函数的解析式即可求出m；
（2）小题是根据关于Y轴对称，就能求出抛物线C2的解析式，图象被对称轴分成两部分，根据其增减性就能判断q1 q2的大小；（3）小题先求出M N的坐标，通过分类讨论（1）（2）（3）就可求出P点的坐标．
【解析】
（1）∵点H（-1，2）在抛物线y=x2-2x+m上，
∴2=（-1）2-2×（-1）+m，
∴m=-1，
（2）q1＜q2 
由（1）知，C1：y=x2-2x-1=（x2-2x+1-1）-1=（x-1）2-2，
∴C1的对称轴为：直线x=1，顶点坐标为：（1，-2），
∵抛物线C2：y=x2+bx+c与C1：y=x2-2x-1关于y轴对称，
∴C2的解析式为：y=（x+1）2-2，
即：y=x2+2x-1，
又∵Q1（-2，q1），Q2（-3，q2）在抛物线C2上，且在对称轴x=-1的左侧，
∴q1＜q2，
（3）存在这样的点P，使以P，M，N为顶点的三角形是直角三角形．
由上述可知：M（-1，-2），N（1，-2），
第一种情况：当M为直角顶点时，点P在C1上，
            当x=-1时，y=2，
∴P（-1，2），
第二种情况：当N为直角顶点时，
            点P在C2上，
            当x=1时，y=2，
∴P（1，2），
第三种情况：当P为直角顶点时，
           P（0，-1），
综上可知：点P的坐标为（-1，2）或（1，2）或（0，-1）．