Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为．函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）点P为线段AB上一动点，试探索：
①当△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
②当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；
③当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系，并直接写出t的取值范围．

Answer

（1）要靠辅助线来完成解题．延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G，根据题意求得坐标A，B，继而求出∠DAO=45°．然后根据点C的坐标求出CG=OG=2，故求得∠COG=45°，∠AOD=45°后可知∠ODA=90°，证得CO⊥AB．
（2）要使△PDA为等腰三角形，要分三种条件解答．即当OP=OA；当PO=PA以及AP=AC三种情况．
（3）当直线PO与⊙O相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥O．由点C的坐标为（-2，-2），易得CO=2 ，求出∠COK=30°，同理求出∠POA的另一个值为15°．因为M为EF的中点，可以推出△COM∽△POD，然后根据线段比求出MO•PO=CO•DO．求出st的值．故当PO过圆心C时，可求出s的值．
【解析】
（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．
因为直线AB的函数关系式是y=-x+2，所以易得A（2，0），B（0，2）
所以AO=BO=2
又因为∠AOB=90°，所以∠DAO=45°（1分）
因为C（-2，-2），所以CG=OG=2
所以∠COG=45°，∠AOD=45°（2分）
所以∠ODA=90°，
所以OD⊥AB，即CO⊥AB（3分）

（2）①要使△POA为等腰三角形，
1）当OP=OA时，此时点P与点B重合，所以点P坐标为（0，2）；
2）当PO=PA时，由∠OAB=45°，所以点P恰好是AB的中点，所以点P坐标为（1，1）；
3）当AP=AO时，则AP=2，过点P作PH⊥OA交于点H，在Rt△APH中，易得PH=AH=，所以OH=2-，
所以点P坐标为（2-，）（7分）
综上所述，P（0，2）、P（2-，）、P（1，1）；

②当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥OK，

由点C的坐标为（-2，-2），易得CO=2 ，
又因为⊙C的半径为 ，所以∠COK=30°，
所以∠POD=30°，又∠AOD=45°，所以∠POA=75°
同理可求出∠POA的另一个值为15°
所以∠POA等于75°或15°（10分）
③因为M为EF的中点，所以CM⊥EF，
又因为∠COM=∠POD，CO⊥AB，
所以△COM∽△POD，
所以 =，即MO•PO=CO•DO，
因为PO=t，MO=s，CO=2 ，DO=，所以st=4，
当PO过圆心C时，MO=CO=2 ，PO=DO=，即MO•PO=4，也满足st=4，
所以s=．（ ）．