Question

如图，四边形ABCD是矩形，△ABE和△BCF都是等边三角形，且点E、F都在矩形外．
（1）求证：△ABF≌△EBF；
（2）求∠AGE的度数．

Answer

（1）由矩形可得角ABC为90°，由等边三角形可得边相等，角相等为60°，进而得到∠ABF=∠EBF，利用SAS得到三角形全等；
（2）由三角形外角的知识可得∠AGE的度数为∠EFG与∠GEF的和，利用三角形全等，得到角相等，进而得到所求角的度数为2倍的∠BFA与∠BAF的和，为60°．
（1）证明：∵矩形ABCD，等边三角形ABE，等边三角形BCF，
∴∠ABC=∠90°，∠BFC=60°，∠EBA=60°，AB=BE，BF=BC，
∴∠FBE=360°-90°-60°-60°=150°=∠ABC+∠BFC=∠ABF，
∴△ABF≌△EBF；

（2）【解析】
由（1）知：∠EBC=90°+60°=150°=∠EBF，
∴△EBF≌△EBC，
∴∠FEB=∠CEB=∠BAF，
△ABF中，∠BFA+∠BAF
=180°-150°=30°，
∴∠AGE=∠GFE+∠FEG=2（∠BFA+∠BAF），
=2×30°=60°．