Question

已知：抛物线y=x²+mx+n与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），B（3，0），且经过C（2，-3），与y轴交于点D，
（1）求此抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）在（1）的条件下，在x轴上是否存在两个点G、H（G在H的左侧），且GH=2，使得线段GF+FC+CH+HG的长度和为最小？如果存在，求出G、H的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）分别把B（3，0），C（2，-3）两点的坐标代入y=x2+mx+n中即可确定此抛物线的解析式，然后就可以确定顶点F的坐标；
（2）本题需先根据（1）中的函数关系式得出A与D的坐标，再设出直线AC的解析式为y=kx+b，解出k、b的值，从而得出直线AC的解析式，再设P的横坐标为x，即纵坐标为-x-1，得出PE的解析式来，最后即可求出线段PE长度的最大值．
（3）本题需先根据已知条件，设出点H和点G的坐标，再用x表示出GF2+CH2的值，即可得出线段GF+CH的长度和最小时x的值，从而求出G、H的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线y=x2+mx+n与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），B（3，0），且经过C（2，-3），
∴，
解之得m=-2，n=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
∴y=x2-2x-3=y=x2-2x+1-4=（x-1）2-4，
∴F的坐标为（1，-4）；

（2）如图，∵y=x2-2x-3=y=x2-2x+1-4=（x-1）2-4，
∴当y=0时，x=3或x=-1，对称轴为x=1，
当x=0时，y=-3，
∴A（-1，0），D（0，-3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
依题意得，
解之得k=-1，b=-1，
∴直线AC的解析式为y=-x-1，
设P的横坐标为x，那么纵坐标为-x-1，
∵EP∥OD，
∴E的横坐标为x，纵坐标为，
∵P是线段AC上的一个动点，
∴PE=-（x2-2x-3+x+1）=-x2+x+2，
∴当x=时，PE的长度最大，线段PE长度的最大值为=；

（3）∵GH=2，CF==
∴GH、CF的长是定值．
∴使得线段GF+FC+CH+HG的长度和为最小，
则线段GF+CH的长度和最小．
∵设点H的坐标为（x，0），则点G的坐标为（x-2，0），
则GF2+CH2=[1-（x-2）]2+42+（2-x）2+32
=2x2-10x+38
∴当x=-时，线段GF+CH的长度和最小．
G、H的坐标分别是（-，0）（-，0）．