Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠CAD=∠B．
（1）利用尺规作图，作△ADB的外接圆⊙O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）判断AC与⊙O的位置关系并证明；
（3）若AC=10，AD=8，求⊙O的直径．

Answer

（1）先根据基本作图，作出线段AB的垂直平分线，交点就是圆心，再以AB的一半为半径画圆即可；
（2）AC是⊙O的切线，由于AD⊥BC，那么∠ADB=90°，即∠B+∠BAD=90°，而∠CAD=∠B，等量代换即可得∠CAD+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，从而可证AC是⊙O的切线；
（3）由于∠CAD=∠B，∠ADC=∠BDA=90°，易证△ACD∽△BAD，在Rt△ACD中利用勾股定理可求CD，再利用比例线段可求AB．
【解析】
（1）如右图所示，

（2）AC是⊙O的切线，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
又∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD+∠BAD=90°，
即∠BAC=90°，
∴AC是⊙O的切线；

（3）∵∠CAD=∠B，∠ADC=∠BDA=90°，
∴△ACD∽△BAD，
在Rt△ACD中，CD=6，
∴AD：AB=CD：AC，
∴AB=．