Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（，0），B（3，2），C（0，2）．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连接DA，DF．设运动时间为t秒．
（1）求∠ABC的度数；
（2）当t为何值时，AB∥DF；
（3）设四边形AEFD的面积为S．
①求S关于t的函数关系式；②若一抛物线y=x²+mx经过动点E，当S＜2时，求m的取值范围（写出答案即可）．

Answer

（1）过点B作BM⊥x轴于点M，在Rt△ABM中求tan∠BAM，得出∠BAM的度数，利用BC∥OA求解；
（2）当AB∥DF时，∠CFD=∠CBA=30°，在Rt△CDF，Rt△BEF中，解直角三角形求CF，BF，根据CF+BF=BC，列方程求解；
（3）①由D、E两点坐标可知DE∥x轴，根据S=S△DEF+S△DEA，利用三角形面积公式列函数式；
②将①中的关系式代入S＜中求t的取值范围，将E（+t，t）代入抛物线y=x2+mx中，求m、t的关系式，代入t的取值范围求m的取值范围．
【解析】
（1）过点B作BM⊥x轴于点M，
∵C（0，2），B（3，2），
∴BC∥OA，
∵BM=2，AM=2，
∴tan∠BAM=，
∴∠ABC=∠BAM=30°．

（2）∵AB∥DF，
∴∠CFD=∠CBA=30°，
在Rt△DCF中，CD=2-t，∠CFD=30°，
∴CF=（2-t），
∵AB=4，
∴BE=4-2t，∠FBE=30°，
∴BF=，
∴（2-t）+=3，
∴t=．

（3）①过点EG⊥x轴于点G，
∵∠EAG=30°，AE=2t，
∴EG=AE=t，OG=+t
∴E（+t，t）
∴DE∥x轴
S=S△DEF+S△DEA=DE×CD+DE×OD=DE×OC
=×（t+）×2=t+．
②当S＜2时，t+＜2
∴t＜1，
∵t＞0，
∵0＜t＜1，
∴＜m＜．