Question

如图，△ABC中D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接AE．
求证：（1）ED=DA；
（2）∠EBA=∠EAB
（3）BE²=AD•AC．

Answer

（1）由∠BDC=60°，CE⊥BD，求得∠ECD=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得CD=2ED，又由CD=2DA，即可证得ED=DA；
（2）由（1）可求得∠EAD=∠DEA=30°，又由∠BAD=45°，即可得∠EAB的度数，然后由∠BDC=∠DBA+∠BAD，求得∠DBA的度数，即可证得∠EAB=∠EBA；
（3）根据有两角对应相等的三角形相似，易证△AED∽△ACE，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得BE2=AD•AC．
证明：（1）∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
又∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°，（1分）
∴CD=2ED，（1分）
∵CD=2DA，
∴ED=DA；（1分）

（2）∵ED=DA，
∴∠DEA=∠DAE，
∵∠EDC=60°，
∴∠EAD=∠DEA=30°，（1分）
∵∠BAD=45°，
∴∠EAB=15°，（1分）
又∠BDC=∠DBA+∠BAD，
∴∠DBA=15°，
∴∠EAB=∠EBA；（1分）

（3）∵∠EAB=∠EBA，
∴BE=AE，（1分）
∵∠AED=∠ACE，
∴△AED∽△ACE，（1分）
∴，（1分）
∴AE2=AD•AC，
即BE2=AD•AC．（1分）