Question

如图，在平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，且OB＞OA．设点C（0，-4），OA²+OB²=17，线段OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的两个根．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设上述抛物线的顶点为P，求直线PB的解析式．

Answer

（1）根据题意分别求出A、B、C三点坐标，再将A、B、C三点坐标代入y=ax2-+bx+c即可求得抛物线的解析式；
（2）先抛物线的解析式求出顶点P的坐标，进而便可求出直线PB的解析式．
【解析】
（1）∵OA、OB是方程x2-mx+2（m-3）=0的两个根．
∴OA+OB=mOA•OB=2（m-3），（1分）
∵OA2+OB2=17，
∴（OA+OB）2-2OA•OB=17，
∴m2-4（m-3）=17，
∴m2-4m-5=0，（1分）
∴m1=5，m2=-1，（1分）
∵OA+OB=m＞0，
∴m=-1（舍去），（1分）
当m=5时，x2-5x+4=0，
∴x1=1．x2=4，（1分）
∵OB＞OA，
∴OA=1，OB=4，
按题意得A（-1，0），B（4，0），
将A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）代入y=ax2-+bx+c，
可得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2-3x-4；（1分）

（2）∵，
∴点，（1分）
设直线PB的解析式为y=kx+m，（1分）
则，
解得，
即．（1分）