Question

已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为
AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P₁位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1，
（Ⅰ）求BC、AP₁的长；
（Ⅱ）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；
（Ⅲ）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围．

Answer

（I）根据题意可求出点B的坐标，从而得出BC的长，再证明Rt△BP1A∽Rt△CAB．即可求出AP1的长；
（II）过P作BC的垂线，则可证明四边形P1PEB为平行四边形，∴Rt△BAP1≌Rt△PGE，则s=-2m+9.1≤m＜4．
（III）由△EFC∽△ABC，则EC，PE，PF，再由△EFC∽△PFA，得出AP，再根据当时，外切；当时，相交；当时，外离三种情况得出答案．
【解析】
（Ⅰ）∵点在直线y=2x+1上，
∴B（0，1）．
又∵A（0，3），
∴AB=2，BC=2AB=4．
∵P1为圆心，F1为P1与直线AC的切点，
∴P1F1⊥AC，∠BAF1+∠ABF1=90°．
又∵∠AP1F1+∠ABF1=90°，
∴∠AP1F1=∠BAF1．
在Rt△ABC和Rt△P1AB中，
∵∠BP1A=∠CAB，
∴Rt△BP1A∽Rt△CAB．
∴；

（Ⅱ）PD=4-m，过P作BC的垂线，垂足为G，
∵PF∥P1F1，P1P∥BE，
∴四边形P1PEB为平行四边形，
∴P1B=PE．
又PG=AB，
∴Rt△BAP1≌Rt△PGE，AP1=GE=1．
∴EC=CG+GE=PD+GE=5-m，
∴s=-2m+9．（6分）
1≤m＜4；

（Ⅲ）当EF=1时，
∵△EFC∽△ABC，
∴，，
∵，
∴
又△EFC∽△PFA，
∴，
当时，外切；
当时，相交；
当时，外离．