Question

如图，抛物线y=x²-x-与直线y=x-2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．
【解析】
如图
∵抛物线y=x2-x-与直线y=x-2交于A、B两点，
∴x2-x-=x-2，
解得：x=1或x=，
当x=1时，y=x-2=-1，
当x=时，y=x-2=-，
∴点A的坐标为（，-），点B的坐标为（1，-1），
∵抛物线对称轴方程为：x=-=
作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，
连接A′B′，
则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点是F，
∴BF=B′F，AE=A′E，
∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，
延长BB′，AA′相交于C，
∴A′C=++（1-）=1，B′C=1+=，
∴A′B′==．
∴点P运动的总路径的长为．
故选A．