Question

如图，AB为等腰直角△ABC的斜边（AB为定长线段），O为AB的中点，P为AC延长线上的一个动点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E，D为垂足，当P点运动时，给出下列四个结论：
①E为△ABP的外心；②△PBE为等腰直角三角形；
③PC•OA=OE•PB；④CE+PC的值不变．

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

①由于外心是三角形三边中垂线的交点，显然点E是AB、BP两边中垂线的交点，因此符合△ABP外心的要求，故①正确；
②此题要通过①的结论来求，连接AE，根据三角形的外心的性质可知：AE=PE=BE，即∠EPA=∠EAP，∠EAB=∠EBA，再结合三角形的内角和定理进行求解即可；
③此题显然要通过相似三角形来求解，由于OA=OB，那么可通过证△OEB∽△CPB来判断③的结论是否正确；
④此题较简单，过E作EM⊥OC，交AC于M，那么MC=CE，因此所求的结论可转化为证PM是否为定值，观察图形，可通过证△PEM、△BEC是否全等来判断．
【解析】
①∵CO为等腰Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CO垂直平分AB；
又∵DE平分PB，即E点是AB、BP两边中垂线的交点，
∴E点是△ABP的外心，故①正确；
②如图，连接AE；
由①知：AE=EP=EB，则∠EAP=∠EPA，∠EPB=∠EBP，∠EAB=∠EBA；
∵∠PAB=45°，即∠EAP+∠EPA+∠EAB+∠EBA=2（∠EAP+∠EAB）=2∠PAB=90°，
由三角形内角和定理知：∠EPB+∠EBP=90°，即∠EPB=∠EBP=45°，
∴△PEB是等腰直角三角形；故②正确；
③∵∠PBE=∠ABC=45°，
∴∠EBO=∠PBC=45°-∠CBE，
又∵∠EOB=∠PCB=90°，
∴△BPC∽△BEO，得：，即PC•OB=OE•BC⇒PC•OA=OE•BC；
故③错误；
④过E作EM⊥OC，交AC于M；
易知：△EMC是等腰直角三角形，即MC=EC，∠PME=45°；
∴∠PEM=∠BEC=90°+∠PEC，
又∵EC=ME，PE=BE，
∴△PME≌△BCE（SAS），得PM=BC，即PM是定值；
由于PM=CM+PC=EC+PC，所以CE+PC的值不变，故④正确；
因此正确的结论是①②④，故选C．