Question

有一张长方形纸片ABCD，其中AB=3，BC=4，将它折叠后，可使点C与点A重合（图1），也可使点C与AB上的点E重合（图2），也可使点C与AD上的点E重合（图3），折痕为线段FG．
（1）如图1，当点C与点A重合时，则折痕FG的长为______．
（2）如图2，点E在AB上，且AE=1，当点C与点E重合时，则折痕FG的长为______

Answer

（1）连接CG，可证△AHG∽△CBA，根据相似三角形的对应边成比例可求出HG的长度；易证△AHG≌△CHF，则FG=2HG；
（2）连接CG，EG，则FG垂直平分CE．易证△CHF∽△CBE，得出CH=2HF．在直角△BCE中，运用勾股定理，可出CE的长度，求出HF的值；设DG=y，由GE=GC，运用勾股定理求出y的值，得到CG的长度，从而在直角△CHG中，由勾股定理计算出GH的值，则GF=GH+HF；
（3）过点F作FH⊥AD，H为垂足，连接FE．在直角△HFE中，运用勾股定理可求得y关于x的函数解析式，并根据条件得到函数的定义域；
（4）（2）中点C与点E重合，且DG=1，即点E可以在边AB上，同样，可知点E可以在边AD、BC上．
【解析】
（1）连接CG．
∵点C与点A关于FG对称，
∴FG垂直平分AC，
∴∠AHG=90°，AH=AC=2.5．
在△AHG与△CBA中，∵∠AHG=∠CBA，∠GAH=∠ACB，
∴△AHG∽△CBA，
∴HG：AB=AH：BC，
∴HG=3×2.5÷4=．
在△AHG与△CHF中，
∠GAH=∠HCF，AH=CH，∠AHG=∠CHF，
∴△AHG≌△CHF，
∴HG=HF，
∴FG=2HG=；（3分）
（2）连接CG，EG，则FG垂直平分CE．
在△CHF与△CBE中，∠CHF=∠B=90°，∠HCF=BCE，
∴△CHF∽△CBE，
∴HF：BE=CH：BC，
∴CH=2HF．
设HF=x，则CE=2CH=4x．
在△BCE中，∠B=90°，
∴CE2=BE2+BC2，
∴16x2=4+16，
∴x=．
设DG=y，则AG=4-y．
∵GE=GC，
∴12+（4-y）2=32+y2，
∴y=1．
∴GC2=DG2+CD2=1+9=10，
∴GH2=GC2-CH2=10-5=5，
∴GH=，
∴GF=GH+HF=+=；（3分）

（3）过点F作FH⊥AD，H为垂足，连接FE．则FE=FC=4-y，HE=x-y，FH=3，（3分）
由勾股定理有（x-y）2+32=（4-y）2，
从而得（1＜x＜）；（1分）

（4）AB、AD、BC．（3分）
故答案为；；AB、AD、BC．