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如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC上,且BD=manfen5.com 满分网BC,CE=manfen5.com 满分网AC,BE、AD相交于点F,连接DE,则下列结论:①∠AFE=60°;②DE⊥AC;③CE2=DF•DA;④AF•BE=AE•AC,正确的结论有( )
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A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
本题是开放题,对结论进行一一论证,从而得到答案. ①利用△ABD≌△BCE,再用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和,即可证∠AFE=60°; ②从CD上截取CM=CE,连接EM,证△CEM是等边三角形,可证明DE⊥AC; ③△BDF∽△ADB,由相似比则可得到CE2=DF•DA; ④只要证明了△AFE∽△BAE,即可推断出AF•BE=AE•AC. 【解析】 ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠BCA=60° ∵BD=BC,CE=AC ∴BD=EC ∴△ABD≌△BCE ∴∠BAD=∠CBE, ∵∠ABE+∠EBD=60° ∴∠ABE+∠CBE=60° ∵∠AFE是△ABF的外角 ∴∠AFE=60° ∴①是对的; 如图,从CD上截取CM=CE,连接EM,则△CEM是等边三角形 ∴EM=CM=EC ∵EC=CD ∴EM=CM=DM ∴∠CED=90° ∴DE⊥AC, ∴②是对的; 由前面的推断知△BDF∽△ADB ∴BD:AD=DF:DB ∴BD2=DF•DA ∴CE2=DF•DA ∴③是对的; 在△AFE和△BAE中,∠BAE=∠AFE=60°,∠AEB是公共角 ∴△AFE∽△BAE ∴AF•BE=AE•AC ∴④是正确的. 故选A.
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考点分析:
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