Question

如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上的一点，CD交⊙O于点D，且∠A=∠C=30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）请判断线段AC是BC的多少倍，并说明理由．

Answer

（1）由于AB 是直径，那么∠ADB=90°，而∠A=30°，易求∠ABD=60°，从而易证△BOD实等边三角形，即∠BOD=60°，又∠C=30°，可求∠ODC=90°，从而可知CD是⊙O切线；
（2）根据弦切角定理可知∠CDB=30°，而∠C=30°，易证BD=BC，而△BOD是等边三角形，从而有BD=OB，即BC=OB=OA，易得AC=3BC．
（1）证明：连接OD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
又∵∠C=30°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥DC，
故DC是⊙O的切线；

（2）∵OD⊥DC，且△OBD是等边三角形，
∴∠C=∠CDB=30°，BD=OB，
∴BD=BC，
∴OB=BC，
∴OB=BC=OA，
∴AC=3BC．