Question

如图，射线AM∥BN，∠A=∠B=90°，点D、C分别在AM、BN上运动（点D不与A重合、点C不与B重合），E是AB边上的动点（点E不与A、B重合），在运动过程中始终保持DE⊥EC且AD+DE=AB=a．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示△BEC的周长；若无关，请说明理由．

Answer

（1）根据已知得出∠BEC=∠EDA，再利用∠B=90°，∠A=90°即可得出；
（2）根据△AED的周长=AE+AD+DE=a+m，BE=a-m，利用勾股定理得出AD的长，进而表示出△BEC的周长即可得出答案．
（1）证明：∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°
又∵∠A=∠B=90°，
∴∠AED+∠EDA=90°，
∴∠BEC=∠EDA（4分），
∴△ADE∽△BEC；

（2）△AED的周长=AE+AD+DE=a+m，BE=a-m
设AD=x，则DE=a-x（7分），
∵∠A=90°，
∴DE2=AE2+AD2
即a2-2ax+x2=m2+x2
∴，
由（1）知△ADE∽△BEC，
∵，
∴△BEC的周长=，
∴△BEC的周长与m的值无关．