等腰直角△ABC和⊙O如图放置,已知AB=BC=1,∠ABC=90°,⊙O的半径为1,圆心O与直线AB的距离为5.现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动,同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.
(1)当△ABC的边(BC边除外)与圆第一次相切时,点B移动了多少距离?
(2)若在△ABC移动的同时,⊙O也以每秒1个单位的速度向右移动,则△ABC从开始移动,到它的边与圆最后一次相切,一共经过了多少时间?
(3)在(2)的条件下,是否存在某一时刻,△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积?若存在,求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间?若不存在,请说明理由.
查看答案
(1)“三等分角”是数学史上一个著名问题,但数学家已经证明,仅用尺规不可能“三等分任意角”.但对于特定度数的已知角,如90°角、45°角等,是可以用尺规进行三等分的.如图a,∠AOB=90°,我们在边OB上取一点C,用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD,作射线OD,再用尺规作出∠DOB的角平分线OE,则射线OD、OE将∠AOB三等分.仔细体会一下其中的道理,然后用尺规把图b中的∠MON三等分(已知∠MON=45°).(不需写作法,但需保留作图痕迹,允许适当添加文字的说明)
![manfen5.com 满分网](http://img.manfen5.com/res/CZSX/web/STSource/20131022160656222282750/SYS201310221606562222827026_ST/images0.png)
(2)数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法(如图c):将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中,边OB在x轴上、边OA与函数y=
![manfen5.com 满分网](http://img.manfen5.com/res/CZSX/web/STSource/20131022160656222282750/SYS201310221606562222827026_ST/0.png)
的图象交于点P,以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两直线相交于点M,连接OM得到∠MOB,则∠MOB=
![manfen5.com 满分网](http://img.manfen5.com/res/CZSX/web/STSource/20131022160656222282750/SYS201310221606562222827026_ST/1.png)
∠AOB.要明白帕普斯的方法,请研究以下问题:
①设P(a,
![manfen5.com 满分网](http://img.manfen5.com/res/CZSX/web/STSource/20131022160656222282750/SYS201310221606562222827026_ST/2.png)
)、R(b,
![manfen5.com 满分网](http://img.manfen5.com/res/CZSX/web/STSource/20131022160656222282750/SYS201310221606562222827026_ST/3.png)
),求直线OM对应的函数关系式(用含a、b的代数式表示).
②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线,两直线相交于点Q.请说明Q点在直线OM上,并据此证明∠MOB=
![manfen5.com 满分网](http://img.manfen5.com/res/CZSX/web/STSource/20131022160656222282750/SYS201310221606562222827026_ST/4.png)
∠AOB.
查看答案