Question

如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，OA=5，OB=2，将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得△A₁B₁O，连接BB₁交x轴于点C．
（1）分别求出点A₁、B、B₁的坐标；
（2）若抛物线y=3x²+bx+c经过A₁，C两点，求此抛物线的解析式；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△PA₁C与△BOC相似（其中P的对应点为B）？若存在，请你求出P点的坐标，并说明理由．

Answer

（1）由A点坐标可求出A1点坐标，先求出B点坐标进而便可求出B1点坐标；
（2）先求出C点坐标，再将A1、C两点坐标代y=3x2+bx+c入即可解得此抛物线的解析式；
（3）根据三角形相似的性质求出相应的P点坐标，再根据抛物线的相似性便可求出另一个满足条件的P点坐标，注意不要漏解．
（本题满分14分）
【解析】
（1）由题意A（0，5）△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的A1点坐标为（5，0），
在Rt△AOB中，AB==，
过B作BD⊥x轴于D点，
△ABO∽△ODB
∴
OB=
∴OD=2，BD=4，
∴B（2，4）
△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的B1点坐标为（4，-2）；

（2）由连接BB1交x轴于点C，可得C点坐标为（，0）．（6分）
因抛物线y=3x2+bx+c经过A1，C两点，
则此抛物线的解析式为；（8分）

（3）在x轴下方的抛物线上存在点P，使得△PA1C与△BOC相似．（9分）
理由如下：∵△B1A1C∽△BOC可证，
而B1（4，-2）在抛物线上，
∴P点即B1点；（12分）
又由抛物线的对称性可知，点（4，-2）也满足条件．（14分）