Question

已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．
（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；
（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论______；（不用证明）
（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．

Answer

（1）延长CB到G使BG=DN，容易证明△AGB≌△AND，由此得到AG=AN而根据∠MAN=45°，∠BAD=90°，可以得到∠GAM=∠NAM=45°，从而证明△AMN≌△AMG，然后根据全等三角形的性质可以证明BM+DN=MN；
（2）BM-DN=MN．在BC上截取BG=DN，连接AG，然后也可以证明△AMN≌△AMG，也根据全等三角形的性质就可以得到结论；
（3）DN-BM=MN．在ND上截取DG=BM，连接AG，首先证明△AMB≌△AGD，再证△AMG为等腰直角三角形，即可．
【解析】
（1）延长CB到G使BG=DN，
∵AB=AD，GB=DN，∠AGB=∠ADN=90°，
∴△AGB≌△AND，
∴AG=AN，∠GAB=∠DAN，
∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，
∴∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠GAM=∠NAM，而AM是公共边，
∴△AMN≌△AMG，
∴MN=GM=BM+GB=MB+DN；

（2）BM-DN=MN；

（3）DN-BM=MN．

证明：如图3，在ND上截取DG=BM，
∵AD=AB，∠ABM=∠ADN=90°，
∴△ADG≌△ABM，
∴AG=AM，∠MAB=∠DAG，
∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，
∴∠MAG=90°，△AMG为等腰直角三角形，
∴AN垂直MG，
∴AN为MG垂直平分线，
所以NM=NG．
∴DN-BM=MN．