Question

如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线l₁的顶点为C（3，4），抛物线l₂与l₁关于x轴对称，顶点为C′．
（1）求抛物线l₂的函数关系式；
（2）已知原点O，定D（0，4），l₂上的点P与l₁上的P′始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D、O、P、P′为顶点的四边形是平行四边形？
（3）设l₂上的点M、N分别与l₁上的点M′、N′始终关于x轴对称．是否存在点M、N（M在N的左侧），使四边形MNN´M´是正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）先求出C′点坐标，将A、B两点坐标代入y=a（x-3）2-4即可求得抛物线l2的函数关系式；
（2）由题意可知PP′与y轴平行，令2|m2-6m+5|=4解方程，求得m的值，便可求出满足题意得P点坐标；
（3）由题意可知点M、N关于直线x=3对称，正方形MNN′M′的边长为2|y|，解方程求出y即可求出相应的点M的坐标．
【解析】
（1）由题意知点C′的坐标为（3，-4）．
设l2的函数关系式为y=a（x-3）2-4．（1分）
又因为点A（1，0）在抛物线y=a（x-3）2-4上，
a（1-3）2-4=0，解得a=1．
∴抛物线l2的函数关系式为y=（x-3）2-4
（或y=x2-6x+5）．（2分）

（2）∵P与P′始终关于x轴对称，
∴PP′与y轴平行．
设点P横坐标为m，则其纵坐标为m2-6m+5，
∵OD=4，
∴2|m2-6m+5|=4，即m2-6m+5=±2．
当m2-6m+5=2时，解得m=3±．
当m2-6m+5=-2时，解得m=3±．
∴当点P运动到（3-，2）或（3+，2）或到（3-，-2）或（3+，-2）时，PP′∥OD且PP′=OD，
以点为D、O、P、P′顶点的四边形是平行四边形．（6分）

（3）存在满足条件的点M、N．由抛物线的对称性可知，点M、N关于直线x=3对称．
设M（x，y），则正方形MNN′M′的边长为2|y|．
∵点M在l2上，
∴y=（3-|y|-3）2-4，
解得y=．
∴x=3-|y|=或
∴点M的坐标为（，）或（，）．